domingo, 29 de noviembre de 2009

SUDOKU

Historia

Este rompecabezas numérico, ahora llamado Sudoku, era ya conocido en la antigüedad aunque fue ignorado hasta hace algunos años. El Sudoku, en su versión actual, apareció en la prensa norteamericana a finales de los años setenta, más concretamente en 1979. En la revista “Math Puzzles and Logic Problems”, el editor del Puzzle Magazine publicó una rejilla de nueve cuadrados mágicos que llamó “Number Place” (el lugar de los números).

Ésta pasó casi inadvertida hasta catorce años más tarde, cuando el periódico japonés Monthly Nikolist en publicó en abril de 1984 este juego en el mensual de crucigramas “Monthly Nikolist”. La traducción japonesa era demasiado larga de escribir, por eso el juego volvió a ser bautizado utilizando la contracción de las palabras “Sūji wa dokushin ni kagiru” (数字は独身に限る), lo que significa aproximadamente “los números deben estar solos” (独身 significa literalmente “célibe, soltero”) o “una sola cifra debe ser inscrita”. Es por ello que finalmente el juego se ha hecho famoso con el nombre de Sūdoku (数独; sū = número, doku = solo).

Dos años después, los japoneses introducen una variante que consiste en dos innovaciones que lleva el juego a una mayor popularidad en el país del sol naciente: el número de las cifras no puede pasar de treinta y las rejillas se hacen simétricas, es decir que las cifras están distribuidas de forma rotatoria y simétrica en las casillas, lo que concede al conjunto un aspecto más estético.

Las rejillas del Sudoku se inspiran en los cuadros latinos, primos de los cuadros mágicos. Conocidos ya en la antigüedad-remonta probablemente al año 2.000 A.C.- se componen de rejillas cuadradas de n x n casillas en las cuales figuran n símbolos diferentes, donde:

* Cada casilla de la rejilla contiene un símbolo.
* Cada símbolo sómbolo soólo figura una vez en cada fila y cada columna.

El principio matemático fue estudiado por el suizo Leonhard Euler que vivió en el siglo XVII. Un hombre que fue honrado con el título de Prícipe de los Matemáticos el cual no debía de imaginarse que tres siglos más tarde se habría convertido en el padre de este pasatiempo apasionante.

Como se juega

El juego es muy simple: hay una cuadrícula de 81 cuadrados, divididos en 9 bloques de 9 cuadrados cada uno. Algunos de estos cuadrados ya vienen con una cifra escrita. Y el objetivo es rellenar los cuadrados vacíos de forma que los números del 1 al 9 aparezcan solamente una vez en cada fila horizontal, vertical y dentro de cada uno de los nueve bloques que forman la cuadrícula.

Ahora veremos ejemplos de cada una de estas estructuras:

Fila



Una fila está formada por 9 cuadrados de ancho. Los números del 1 al 9 únicamente aparecen 1 vez en cada uno de los cuadrados de una misma fila.

Columna



Una columna está formada por 9 cuadrados de alto. Los números del 1 al 9 únicamente aparecen 1 vez en cada uno de los cuadrados de una misma columna.

Bloque



Un bloque está formado por 9 cuadrados, 3 de alto por 3 de ancho. Los números del 1 al 9 únicamente aparecen 1 vez en cada uno de los cuadrados de un mismo bloque.

Métodos de resolución

La estrategia para resolver un puzle se puede considerar como la combinación de tres procesos: escaneo, marcado y análisis.

Escaneo
El escaneo se realiza desde el principio y periódicamente, durante toda la resolución. El escaneo puede tener que ser ejecutado varias veces entre periodos de análisis. El escaneo consta de dos técnicas básicas: trama cruzada y recuento, que pueden usarse alternativamente.

* Trama cruzada, se trata del escaneo de filas (o columnas) para identificar qué línea en una región particular puede contener un número determinado mediante un proceso de eliminación. Este proceso se repite entonces con las columnas (o filas). Para obtener resultados más rápidos, los números son escaneados de forma ordenada, según su frecuencia de aparición. Es importante realizar este proceso sistemáticamente, comprobando todos los dígitos del 1 al 9.
* Recuento 1-9 por regiones, filas y columnas para identificar números perdidos. El recuento basado en el último número descubierto puede aumentar la velocidad de la búsqueda. También puede ser el caso (es típico en puzles más difíciles) que el valor de una celda individual pueda ser determinado mediante un recuento inverso, esto es, escaneando su región, fila o columna para valores que no pueden ser, para ver cuál es el que falta.

Los resolutores avanzados buscan “contingencias” mientras escanean, esto es, acotan la ubicación de un número en una fila, columna o región o dos o tres celdas. Cuando esas celdas descansan todas en la misma fila (o columna) y región, pueden usarse con un propósito de eliminación durante la trama cruzada y el recuento. Puzles particularmente desafiantes pueden requerir el reconocimiento de múltiples contingencias, quizás en múltiples direcciones o incluso intersecciones – relegando la mayoría de los resolutores al marcado (como se describe más abajo). Los puzles que pueden ser resueltos sólo mediante escaneo, sin requerir la detección de contingencias se clasifican como puzles “fáciles”; otros puzles más difíciles, por definición, no pueden resolverse únicamente mediante escaneo.

Marcado
El escaneo viene a interrumpirse cuando no pueden descubrirse nuevos números. En este punto es necesario centrarse en algún análisis lógico. La mayoría encuentra útil guiar este análisis mediante el marcado de números candidatos en las celdas vacías. Hay dos notaciones populares: subíndices y puntos. En la notación de subíndice, los números candidatos se escriben en pequeño en las celdas. La desventaja es que los puzles originales son publicados en periódicos que habitualmente no dejan demasiado espacio para acomodar más de unos pocos dígitos. Si se usa esta notación, los resolutores crean, a menudo, una copia más grande de el puzle y emplean un lapiz afilado. La segunda notación es un patrón de puntos con un punto en la esquina superior izquierda representando un 1 y un punto en la esquina inferior derecha representando un 9. Esta notación tiene como ventaja que puede usarse en el puzle original. Se requiere destreza para el emplazamiento de los puntos, porque puntos desplazados o marcas inadvertidas llevan, inevitablemente, a confusión y no son fáciles de borrar sin añadir más confusión.

Análisis
Hay dos aproximaciones principales – eliminación y “y-si”.

* En eliminación, el progreso se realiza mediante la sucesiva eliminación de números candidatos para una o más celdas, hasta dejar sólo una elección. Después de lograr cada respuesta, debe realizarse un nuevo escaneo (habitualmente comprobando el efecto del último número). Hay una serie de tácticas de eliminación. Una de las más comunes es el “borrado del candidato no coincidente”. Las celdas con idéntica configuración de números candidatos se dice que coinciden si la cantidad de números candidatos en cada una es igual al número de celdas que los contienen. Por ejemplo, se dice que celdas coinciden con una particular fila, columna o región si dos celdas contienen el mismo par de números candidatos (p,q) y no otros, o si tres celdas contienen el mismo triplete de números candidatos (p,q,r) y no otros. Estas son, esencialmente, contingencias coincidentes. Estos números (p,q,r) que aparecen como candidatos en cualquier lugar en la misma fila, columna o región en celdas no coincidentes, pueden ser borrados.
* En la aproximación “y-si”, se selecciona una celda con sólo dos números candidatos y se realiza una conjetura. Las etapas de arriba se repiten a menos que se encuentre una duplicación, en cuyo caso el candidato alternativo es la solución. En términos lógicos este método se conoce como reducción al absurdo. Nishio es una forma limitada de esta aproximación: para cada candidato para una celda, la cuestión que se plantea: ¿entrará un número particular de una configuración en otro emplazamiento? Si la respuesta es sí, entonces ese candidato puede ser eliminado. La aproximación “y-si” requiere un lapiz y una goma. Esta aproximación puede ser desaprobada por puristas lógicos por demasiado ensayo y error pero puede llegar a soluciones clara y rápidamente.

Idealmente, se necesita encontrar una combinación de técnicas que eviten alguno de los inconvenientes de los elementos de arriba. El recuento de regiones, filas y columnas puede resultar aburrido. Escribir números candidatos en celdas vacías puede consumir demasiado tiempo. La aproximación “y-si” puede ser confusa a menos que seas bien organizado. El quid de la cuestión es encontrar una técnica que minimice el recuento, el marcado y el borrado.

Fuente: Wikipedia

Árbol de navidad matemático.

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111=123456789 87654321

sábado, 28 de noviembre de 2009

CONCURSO!!!!

¿Cómo construimos un triángulo, conocidos los lados a, b y c?


IMPORTANTE: LA MEJOR RESPUESTA PUBLICADA EN ESTE BLOG OBTENDRÁ UN 7 EN MATEMÁTICA.

jueves, 19 de noviembre de 2009

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS








lunes, 16 de noviembre de 2009

CHAT

ACERTIJO 8°

El primer alumno(a) de 8° que resuelva este acertijo y lo publique en un comentario tendrá 5 décimas para la prueba de este jueves.

Acertijo: ¿En qué orden están los siguientes números?

5 - 4 - 2 - 9 - 8 - 6 - 7 - 3 - 1








Búsqueda personalizada

domingo, 15 de noviembre de 2009

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante

hagan clic en el siguiente enlace para ver un video que explica los ángulos que se forman entre paralelas:

Matemáticas II - Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante

VOLUMEN DE CUERPOS

El volumen es el espacio que ocupan los cuerpos.

Los cuerpos geométricos existen en el espacio y son por lo tanto objetos que tienen tres dimensiones (ancho, alto y largo) limitados por una o más superficies. Si todas las superficies son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro (como los que hicimos con bombillas). Si el cuerpo no está limitado por polígonos, sino por superficies curvadas recibe el nombre de cuerpos redondos (como los conos, esferas y cilindros).

La fórmula para calcular el volumen de un cuerpo depende de su forma.

Para medir el volumen de un cuerpo se utilizan unidades cúbicas, que son: milímetro cúbico, centímetro cúbico, decímetro cúbico y metro cúbico
mm3, cm3, dm3, m3

A continuación les dejo una breve explicación y la fórmula para calcular el volumen de los cuerpos que entrarán en la prueba de este jueves:


El cubo es un sólido limitado por seis cuadrados iguales, también se le conoce con el nombre de hexaedro.



1.- Para calcular su volumen (extensión del espacio de tres dimensiones ocupado por un cuerpo) se emplea la siguiente fórmula:


Volumen del cubo = arista elevada al cubo

Arista: línea de intersección de dos planos

Para desarrollar o dibujar un cubo, ver la siguiente figura:


2.- El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura, esto se expresa como:
V = Bh

3.- El volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del producto del área de la base por la altura, lo cual se expresa como:

V = B h ÷ 3

A continuación, les dejo un desafío matemático para que ejerciten la mente.
Saludos.





miércoles, 11 de noviembre de 2009

prueba para comentar

Alumnos de 7° año publiquen aquí sus comentarios para ver si está funcionando.
A partir de hoy podremos comunicarnos por este blog cuando no me encuentren en el colegio. dejen sus comentarios, dudas, sugerencias, etc. Por ahora ya existe un tema para ustedes que es el resumen de la materia de estadística.
Estudien harto para que les valla bien en la prueba!!!!

lunes, 9 de noviembre de 2009

TEOREMA DE PITÁGORAS




Para entrar en materia, es necesario recordar un par de ideas:

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.



Sabido esto, enunciemos el Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo se verifica que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.



Recuerda: Este Teorema sólo se cumple para triángulos rectángulos.

AC = cateto = a

BC = cateto = b

AB = hipotenusa = c

La expresión matemática que representa este Teorema es:

hipotenusa ^2 = cateto ^2 + cateto ^2

c^ 2 = a ^2 + b ^2

Si se deseara comprobar este Teorema se debe construir un cuadrado sobre cada cateto y sobre la hipotenusa y luego calcular sus áreas respectivas, puesto que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

El siguiente esquema representa lo dicho anteriormente:

RESUMEN ESTADÍSTICA

•Los orígenes de la estadística, aunque no se sabe con exactitud cuándo se comenzó a utilizar, pueden estar ligados al antiguo Egipto como a los censos chinos que se realizaron hace unos 4.000 años, aproximadamente.

•Sin duda, fueron los romanos, maestros de la organización política, quienes mejor supieron ocupar la estadística. Cada cinco años realizaban un censo de la población, cuyos datos de nacimientos, defunciones y matrimonios eran esenciales para estudiar los avances del imperio; sin olvidar los recuentos de ganancias y las riquezas que dejaban las tierras.

•Para poder comprender mejor este tipo de estudio es importante que conozcas los siguientes términos básicos:

Población: Es un conjunto de personas, eventos o cosas de las cuales se desea hacer un estudio, y tienen una característica en común.

Muestra: Es un subconjunto cualquiera de la población; es importante escoger la muestra en forma aleatoria (al azar), pues así se logra que sea representativa y se puedan obtener conclusiones más a fines acerca de las características de la población.

Variables cualitativas: Relacionadas con características no numéricas de un individuo (por ejemplo: atributos de una persona, nacionalidad, color de la piel, sexo).

Variables Cuantitativas: Relacionadas con características numéricas del individuo por ejemplo: edad, precio de un producto, ingresos anuales. Las variables cuantitativas se dividen en discretas (aquellas que pueden tomar solo algunos valores en un intervalo y no valores intermedio, ejemplo: edad, número de hermanos que puede ser 1, 2, 3....,etc, pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45) o continuas (aquellas que pueden tomar cualquier valor en un intervalo real, ejemplo: alturas, la velocidad de un vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc.).

Ordenando la Información:

Al ordenar datos muy numerosos, es usual agruparlos en clases o categorías. Al determinar cuántos pertenecen a cada clase, establecemos la frecuencia. Construimos así una tabla de datos llamada tabla de frecuencias.

¿Para qué se construyen las tablas de frecuencias ?
1. ORDENAR
2. AGRUPAR
3. RESUMIR información

TIPOS DE FRECUENCIAS

a) Frecuencia o Frecuencia Absoluta:Es el número de veces que se presenta un valor o categoría de una variable. Se representa por fi.

b) Frecuencia Relativa: La frecuencia relativa se puede expresar en términos de porcentaje o de proporción y se representa por fr. (Es la razón entre la frecuencia absoluta y el total de datos)

ESTUDIEN!!!

jueves, 5 de noviembre de 2009

Taller de Geometría


Fotos del taller de geometría de 7° y 8° construyendo poliedros regulares con hilo y bombillas.
Pronto se viene la Primera semana de la Matemática del Colegio San Agustín. Los estudiantes de todo el colegio ya están preparando materiales para su paarticipación.